ΟΙ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ
Παρουσίαση
Θεμελιακή έννοια της μαθηματικής μεθόδου, ήδη από την ελληνική αρχαιότητα, η έννοια της απόδειξης υπέστη έναν βαθύ μετασχηματισμό από τις αρχές της δεκαετίας του '70.
Πολλές σημαντικές μαθηματικές ανακαλύψεις, όχι πάντα συνδεδεμένες μεταξύ τους, θέτουν σταδιακά σε αμφισβήτηση την κυριαρχία του συλλογισμού πάνω στον υπολογισμό και μας προτείνουν μια πιο ισορροπημένη αντιμετώπιση, κατά την οποία συλλογισμοί και υπολογισμοί διαδραματίζουν συμπληρωματικούς ρόλους.
Αυτή η αληθινή επανάσταση μας οδηγεί στο να ξανασκεφτούμε το διάλογο των μαθηματικών και των φυσικών επιστημών. Φωτίζει με ένα νέο φως ορισμένες φιλοσοφικές έννοιες, όπως αυτή της αναλυτικής και συνθετικής κρίσης. Μας οδηγεί επίσης στο να αναρωτηθούμε για τους δεσμούς των μαθηματικών με την πληροφορική καθώς και για την ιδιαιτερότητα των μαθηματικών που παρέμενε η μόνη επιστήμη που δεν χρησιμοποιούσε όργανα.
Τέλος -και σίγουρα αυτό είναι το πιο ενδιαφέρον- μας αφήνει να δούμε νέους τρόπους επίλυσης των μαθηματικών προβλημάτων, που λυτρώνονται από τα αυθαίρετα δεσμά που είχε επιβάλει η παλιά τεχνολογία ως προς το μέγεθος των αποδείξεων: ενδεχομένως τα μαθηματικά να προετοιμάζονται για την κατάκτηση νέων κόσμων που μέχρι πρόσφατα ήταν απρόσιτοι. (Από την παρουσίαση στο οπισθόφυλλο του βιβλίου)
Πολλές σημαντικές μαθηματικές ανακαλύψεις, όχι πάντα συνδεδεμένες μεταξύ τους, θέτουν σταδιακά σε αμφισβήτηση την κυριαρχία του συλλογισμού πάνω στον υπολογισμό και μας προτείνουν μια πιο ισορροπημένη αντιμετώπιση, κατά την οποία συλλογισμοί και υπολογισμοί διαδραματίζουν συμπληρωματικούς ρόλους.
Αυτή η αληθινή επανάσταση μας οδηγεί στο να ξανασκεφτούμε το διάλογο των μαθηματικών και των φυσικών επιστημών. Φωτίζει με ένα νέο φως ορισμένες φιλοσοφικές έννοιες, όπως αυτή της αναλυτικής και συνθετικής κρίσης. Μας οδηγεί επίσης στο να αναρωτηθούμε για τους δεσμούς των μαθηματικών με την πληροφορική καθώς και για την ιδιαιτερότητα των μαθηματικών που παρέμενε η μόνη επιστήμη που δεν χρησιμοποιούσε όργανα.
Τέλος -και σίγουρα αυτό είναι το πιο ενδιαφέρον- μας αφήνει να δούμε νέους τρόπους επίλυσης των μαθηματικών προβλημάτων, που λυτρώνονται από τα αυθαίρετα δεσμά που είχε επιβάλει η παλιά τεχνολογία ως προς το μέγεθος των αποδείξεων: ενδεχομένως τα μαθηματικά να προετοιμάζονται για την κατάκτηση νέων κόσμων που μέχρι πρόσφατα ήταν απρόσιτοι. (Από την παρουσίαση στο οπισθόφυλλο του βιβλίου)
Περιεχόμενα
ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Τα μαθηματικά και η αναζήτηση νέων κόσμων
1. ΜΙΑ ΑΡΧΑΙΑ ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ
Από την προϊστορία των μαθηματικών στα ελληνικά μαθηματικά
Δύο χιλιάδες χρόνια υπολογισμού
2. Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΕΠΟΧΗ
Η λογική των κατηγορημάτων
Από το πρόβλημα της απόφασης στο θεώρημα του Church
Η θέση του Church
Μια απόπειρα να αποδοθεί στον υπολογισμό η θέση του στα μαθηματικά: Ο λάμδα λογισμός
Η κατασκευασιμότητα
Οι κατασκευαστικές αποδείξεις και οι αλγόριθμοι
3. Η ΚΡΙΣΗ ΤΗΣ ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ
Η ιντουϊσιονιστική θεωρία των τύπων
Η αυτόματη απόδειξη
Η επαλήθευση των αποδείξεων
Τα νέα από το μέτωπο
Τα όργανα
Να τελειώνουμε με τα αξιώματα
ΕΠΙΛΟΓΟΣ
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ
Βιογραφικά σημειώματα
Βιβλιογραφία
Ευρετήριο
Τα μαθηματικά και η αναζήτηση νέων κόσμων
1. ΜΙΑ ΑΡΧΑΙΑ ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ
Από την προϊστορία των μαθηματικών στα ελληνικά μαθηματικά
Δύο χιλιάδες χρόνια υπολογισμού
2. Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΕΠΟΧΗ
Η λογική των κατηγορημάτων
Από το πρόβλημα της απόφασης στο θεώρημα του Church
Η θέση του Church
Μια απόπειρα να αποδοθεί στον υπολογισμό η θέση του στα μαθηματικά: Ο λάμδα λογισμός
Η κατασκευασιμότητα
Οι κατασκευαστικές αποδείξεις και οι αλγόριθμοι
3. Η ΚΡΙΣΗ ΤΗΣ ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ
Η ιντουϊσιονιστική θεωρία των τύπων
Η αυτόματη απόδειξη
Η επαλήθευση των αποδείξεων
Τα νέα από το μέτωπο
Τα όργανα
Να τελειώνουμε με τα αξιώματα
ΕΠΙΛΟΓΟΣ
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ
Βιογραφικά σημειώματα
Βιβλιογραφία
Ευρετήριο
Λεπτομέρειες
1 σχόλιο:
Οι Μεταμορφώσεις Του Λογισμού
Οι Μεταμορφώσεις του Λογισμού, επιχειρούν να αναλύσουν την ιστορική πορεία της μεθοδολογίας των Μαθηματικών. Κάνουν λόγο εκτενώς για τη έννοια της απόδειξης και για τη χρήση που της έγινε τα τελευταία -3.000 με 4.000 χρόνια. Αντιδιαστέλλεται ο συλλογισμός με τον υπολογισμό καθώς ο δεύτερος αποτέλεσε το μόνο σχεδόν και σίγουρα το κυρίαρχο εργαλείο των Βαβυλωνίων και των αιγυπτίων για να «παραγκωνίσει» από τον πρώτο που εισήγαγαν οι Έλληνες στην συνέχεια.
Στη πορεία γίνεται μνεία και ανάλυση για πολλά, καθοριστικά ζητήματα για την ύπαρξη των Μαθηματικών : όπως για τους αλγορίθμους, για το θεσιακό σύστημα γραφής των αριθμών καθώς αντίθετα με τα χημικά στοιχεία π.χ. , αυτοί είναι άπειροι, άρα δεν είναι δυνατόν να δώσουμε ένα όνομα στον καθένα τους, με δεδομένο ότι μία γλώσσα περιλαμβάνει ένα πεπερασμένο πλήθος συμβόλων και λέξεων, για τον ολοκληρωτικό λογισμό και για άλλα πολλά ζητήματα.
Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται δικαίως στη «διαμάχη» Κάντ και Frege. Ο Kant ονομάζει (δηλαδή ο ρ ί ζ ε ι) περισσότερο ή λιγότερο αυθαίρετα την «αναλυτική κρίση», την «συνθετική κρίση», τις a priori και τις a posteriori κρίσεις. (σελίδα 50) Μάλιστα στη δική μου προσωπική ανάγνωση, ο Kant θεωρεί ότι όλες οι κρίσεις είναι ή αναλυτικές ή συνθετικές και δεν υπάρχει Τρίτη περίπτωση. Κάτι που δεν τεκμηριώνεται και τελικά συνάγεται αυθαίρετα/ αβασάνιστα. Σε πολλά θέματα ο Kant, δυστυχώς ακολουθεί τον Πλάτωνα, εξάρωντας την ικανότητα της συνείδησης να έχει από μόνη της πρόσβαση σε ορισμένες γνώσεις σχετικά με τη φύση, χωρίς καμμιά αιτιολογία / απόδειξη/ αναγκαιότητα. Ο Frege προχώρησε πολύ, συμπλέοντας με τον Αριστοτέλη, αλλά φοβάμαι όχι αρκετά ώστε να παραμεριστούν οριστικά οι Πλάτων και Kant. (σελίδες 64-65, 70,78,87, 90-91)
Είναι σαφές ότι ο άνθρωπος στην προσπάθειά του να κατανοήσει τον Κόσμο, να «προβλέψει» τα μέλλοντα και γιατί όχι να «αλλάξει» τον Κόσμο, συχνά απλοποιεί τα φαινόμενα και τις σχέσεις μεταξύ αυτών ώστε να τα καταστήσει μαθηματικοποιήσιμα. Εμβόλιμα στο σημείο αυτό θέλω να αναφερθώ σε ένα παράπονό μου, χρόνια τώρα, καθώς συντηρώντας ζωντανό το παρόν μπλοκ είμαι ο μόνος που γράφω σχόλια για τα βιβλία που διαβάζουμε και συζητάμε. Δεν υπάρχουν άλλα σχόλια ούτε δύο αράδων, αν ανατρέξετε χρόνια πίσω. Καταντά κουραστικό, μονότονο, δονκιχωτικό, αλλά και σπαστικό όταν οι φίλοι μου-που διαβάζουν τα βιβλία, συμμετέχουν στη λέσχη, σχολιάζουν προφορικά τη χρονική τοποθέτηση του σχολίου μου ή την απουσία του. Αφήνοντας πίσω το παραπάνω εμβόλιμο σχόλιο-για να δούμε και πόσοι και ποιοί τελικά το διαβάζουν το κείμενο μου έστω, συνεχίζουμε με το συσχετισμό μαθηματικών κα ι φυσικών νόμων. (Γαλιλαίος κλπ) Στα τέλη της δεκαετίας του 1950 ο Noam Chomsky πρότεινε να εκφραστούν οι γραμματικές των φυσικών γλωσσών με αλγοριθμική μορφή κα παρουσίασε μια γλώσσα έκφρασης των αλγορίθμων αυτών. (σελίδα 100).
Στη συνέχεια αναφέρεται ο κονστρουκτιβισμός, στα μαθηματικά και η προσπάθεια παράκαμψης της αρχής της τρίτου αποκλείσεως. (σελίδες 112-120).
Νέες περιπέτειες για τις κρίσεις, τον ιντουϊσιονισμό (σελίδα 136), σύνδεση και μοιραίος συσχετισμός των μαθηματικών με τη φυσική, την Πληροφορική (σελίδες 143, 155,172-176), τη χρήση οργάνων, παρατήρησης, μέτρησης με κορωνίδα τον Ηλεκτρονικό Υπολογιστή (σελίδες 186, 190-191, 194-195, 197-199). Για να καταλήξουμε- για την ώρα (που ήδη είναι περασμένη για απόψε που γράφω) στην τεχνολογία Machine-to Machine (M2M) και Διαδικτύου των Πραγμάτων (Internet of Thinks- IοT) δηλαδή απευθείας επικοινωνία μηχανών και συσκευών μεταξύ τους (χωρίς την ανθρώπινη παρέμβαση), που έχω την τύχη να ασχολούμαι εσχάτως.
Δημοσίευση σχολίου